天津市第四十二中学 张鼎言
3. 数列{an}满足a1=1且an+1=(1+-)an+-(n1)
(Ⅰ)用数学归纳法证明：an2(n2)；
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)0成立，证明：an
证明(Ⅰ)当n=2时，a2=(1+-)·1+-=22，不等式成立；
假定n=k时，ak2，
ak+1=(1+-)·ak+-2(1+-)+-，
∵1+->1，->0 ∴ak+12
由上面 n=2与n=k+1，可知不等式an2，对n=2，3，…成立。
证明(Ⅱ)an+1=(1+-)·an+-
由(Ⅰ)an1，n=1，2，3，… 易得-- ∴an+1an·（1+-+-)
两边取以e为底的对数，∵e>1，∴lnan+1lnan+ln[1+(-+-)]
又由(Ⅱ)给出的条件ln(1+x)0
上面的不等式可变形为：lnan+1-lnan-+-
即 lnan-lnan-1-+-
lnan-1-lnan-2-+-
……
lna2-lna1-+-
把以上n-1个不等式相加：
lnan-lna1-+-+…+-+-+-+…+-
∵lna1=0
又-+-+…+-=1--+---+…+---=1--，
-+-+…+-=1--，
∴lnan1--+1--=2----<2
∴an
注 第(Ⅱ)问是把不等式证明的比较法，放缩法与数列的基本方法与等比数列求和融在一起，这种综合题不单单是内容的综合，深入到数学方法的综合。
4. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2(an+3)，n∈N+。
解：(Ⅰ)a1=S1>1
6Sn-6Sn-1=an2+3an+2-(a2n-1+3an-1+2)
6an=(an+an-1)(an-an-1)+3(an-an-1)
(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0
∵an>0，an-1>0
∴an-an-1=3
又 6a1=a21+3a1+2，a1>1，∴a1=2
∴an=3n-1
分析(2)--1=-，-=-
bn=log2-
Tn=b1+b2+…+bn=log2-g-g-g…g-
=log2(1+-)(1+-)(1+-)…(1+-)
3Tn+1=log22g(1+-)3g(1+-)3g(1+-)3g…g(1+-)3
在不等式证明中，解决连乘最为困难，所以要考其他途径变形
由二项式定理(1+x)n=1+C1nx+…+Cnnxn(x>0)
有(1+x)n>1+C1nx=1+nx
研究3Tn+1等式中右边的连续两项：
(1+-)3>1+-=-
[1+-]3>1+-=-
这样的变形乘积项就能打破，下面有：
3Tn+1>log2(2g-g-g…g-g-)
=log2(3n+2)=log2(an+3).
注：二项展开式在处理不等量关系及近似计算中起重要的简化作用。
5. 已知数列{an}中有相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程的两个根，且a2k-1a2k(k=1，2，3，…)
(Ⅰ)求a1，a3，a5，a7；
(Ⅱ)求数列{an}的前2n项的和S2n；
(Ⅲ)记f(n)=-(-+3)，Tn=-+-+-+…+-
求证：-Tn-(n∈N*)
(Ⅰ)解：方程(x-3k)(x-2k)=0，x1=3k，x2=2k
当k=1时，x1=3，x2=2，由a1a2→a1=2，a2=3
当k=2时，x1=6，x2=4，由a3a4→a3=4，a4=6
当k=3时，x1=9，x2=8，由a5a6→a5=8，a6=9
当k=4时，x1=12，x2=16，由a7a8→a7=12，a8=16
∴a1=2，a3=4，a5=8，a7=12
分析(2)S2n=(a1+a3+a5+a8)+(a2+a4+a6+a7)+a9+…+a2n
=3(1+2+…+n)+2+22+…+2n=-n(n+1)+2n+1-2.
分析(3)f(n)=12(-+3)
n=2，f(2)=2，n=3，f(3)=2，
n=4，f(4)=1，n=5，f(5)=1，
随着n的变化，很难确定f(n)=?
要证-≤Tn≤-
T1=-=-，T2=-+-=-
由此看出T1、T2是两个重要的结果。
[1] [2] [3] 下一页
|
