天津市第四十二中学 张鼎言
10. 已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且
-=λ-，-λ-(λ为非零参数，n=2，3，4，…)
(Ⅰ)若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；
(Ⅱ)当λ>0时，证明--(n∈N*)；
当λ>1时，证明-+-+…+-<-(n∈N*)
解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ；n=3 -=λ-→x4=λ3
n=4 -=λ-→x5=λ6
∵x1，x3，x5成等比
∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0
∴λ=±1
(Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1
y1=y2=2>0，λ>0→yn>0
-λ-λ2-…λn-1-
∴-λn-1→--
∴--
(Ⅲ)由已知 x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2 又λ>1，∴y3>x3
进一步易推得 yn>xn
-=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0
--
--=-
∴--，(n2)
-+-+…+-1+-+…+-<-=-
注：第(Ⅱ)问是用逐次代入法解决等量与不等量递推。
(三)综合题与应用题
综合题主要是数列与函数，数列与不等式的综合.数列部分的应用题是以“增长率”为基础加以变化.
1. 已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上。
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=-，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<-对所有n∈N*都成立的最小正整数m。
解(Ⅰ)∵f(x)的图像经过坐标原点
∴f(0)=c=0
又f'(x)=2ax+b=6x-2
∴a=3，b=-2
∴f(x)=3x2-2x
Sn=f(n)=3n2-2n， a1=S1=1
Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)
an=Sn-Sn-1=6n-5，n2
a1=1也满足上式
∴an=6n-5，(n=1，2，…)
(Ⅱ)bn=-=-[---]
Tn=-(1--)<-
m>10--
g(n)=10--，n↑，g(n)↑
-g(n)=10 ∴m=10
注：本题是函数与数列综合，第(Ⅱ)问要有极限思想。
2. 已知An(an，bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n=2，3，4，…
(Ⅰ)证明：数列{-}(n2)是常数列；
(Ⅱ)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是单调递增数列；
(Ⅲ)证明：当a∈M时， 弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。
解：(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan，
(Sn+Sn-1)gan=3n2gan，n2，an≠0
∴Sn+Sn-1=3n2
Sn+1+Sn=3(n+1)2
两式相减：Sn+1-Sn-1=6n+3
∴an+1+an=6n+3
an+2+an+1=6n+9
又两式相减an+2-an=6，n2
-=-=-=e6。得证
分析(2)由Sn+Sn-1=3n2
n=2:S2+S1=12→a2=12-2a
由an+1+an=6n+3
n=2:a3=3+2a
n=3:a4=18-2a
a2，a4，…，a2k是以a2为首项，公差为6的等差递增数列。
a3，a5，…，a2k-1是以a3为首项，公差为6的等差递增数列。
若{an}为递增数列，应有a1
-
证明(3)kn=-，kn+1=-
分析：{an}↑，{-}↑，要证{kn}↑
注意到，{an}不是以6为公差的等差递增数列，用比较法kn+1-kn在计算中显然行不通。过去是“量”的转换，现在把数列转换成函数，用函数单调性解决数列的单调性。
设函数f(x)=-
f'(x)=-，需证f'(x)>0，可推出f(x)↑
又设g(x)=ex(x-x0)-(ex--)
g'(x)=ex(x-x0)
xx0
g'(x)>0，g(x)↑，
∴x=x0是g(x)唯一极小值点。
∴g(x)>g(x0)=0，即g(x)>0
∴f'(x)>0，f(x)↑
单调区间(-∞，x0)∪(x0，+∞)
上面是把数列转化为函数，下面还要把函数转化为数列。
令x0=an，an
∴-<-
再令x0=an+2，an
->-
∴kn
注：数列也是函数，用处理函数的思路，与方法也适用于数列，关键是抓住“转化”的转折点。
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