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天津四中 李程
知识要点
1.函数的值域
求函数的值域是一个较复杂的问题，不管用什么方法，都要考虑其定义域。
(1)当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中函数值的集合。
(2)当函数用图像给出时函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。
(3)当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。
2.函数的最值：
求函数的值域与最值是紧密相连的，方法类似。事实上，如果在函数的值域中存在一个最(小)大数，这个数就是函数的最(小)大值。
3.求函数的值域常用方法：
直接法；换元法；判别式法；不等式法；函数的单调性法；函数的有界性法；数形结合法；导数法等等。
典型例题
一、直接法
例1.求下列函数的值域
(1)y=-
解： x∈{x∈R｜x≠--}
y=-=--+-
∵x≠--
∴2x+1≠0 ∴-≠0∴y≠--
y∈{y∈R｜y≠--}
说明：形如y=-的函数可通过“分离常数”后再逐层分析。
(2)y=-
解：x∈R,y=-=-1+-
∵x∈R∴2x>0∴1+2x>1∴0<-<1
∴0<-<2∴-1<-1+-<1
∴y∈(-1,1)
(3)y=4--
解：3+2x-x2 0
∴x∈[-1,3] y=4--
∵x∈[-1,3]∴-(x-1)2+4∈[0,4]
∴--∈[-2,0]
说明：一般的，一个函数可以由几个常见函数经过复合后得到。只要每一层的常见函数都可以求出值域，便可以运用“逐层分析”法求出函数的值域。
二、换元法
例2.求下列函数的值域
(1)y=2x+-
解：∵1-2x0 ∴x∈(-∞,-]
设t=-(t0) x=-
∴y=-t2+t+1=-(t--)2+-(t0)
∴y∈(-∞,-]
说明：对于形如y=ax+b+-的函数设t=cx+d且t0使之划归为二次函数的范围值域问题。
(2)y=x+-
解：∵1-x20∴x∈{x｜-1x1}
设x=sin,---
∴y=x+-=sin+cos=-sin(+-)
∵---∴--+--
∴--sin(+-)1
∴y∈[-1,-]
说明：对含有-的函数，可利用三角换元设x=asin，其中的范围只要能够使asin满足x的定义域即可。
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