8.基本初等函数(Ⅱ)及三角恒等变换
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同角三角函数关系式：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1,1＋tan2α＝sec2α，1＋cot2α＝csc2α；
(2)倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1；
(3)商数关系：tanα＝sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα.
①诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限。此外在应用时，不论α取什么值，我们始终视α为锐角。否则，将导致错误。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：a.负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α＜2π；b.转化为锐角。
②求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值).
③三角函数的图象与性质：
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三角函数
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y＝sinx
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y＝cosx
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y＝tanx
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y＝cotx
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定义域
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(－∞，＋∞)
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(－∞，＋∞)
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(nπ－，nπ＋)
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(nπ，nπ＋π)
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值域
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[－1,1]
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[－1,1]
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(－∞，＋∞)
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(－∞，＋∞)
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最大(小)
值(k∈Z)
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当x＝2kπ＋
时，ymax＝1；
当x＝2kπ－
时，ymin＝－1
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当x＝2kπ时，
ymax＝－1；
当x＝2kπ＋π
时，ymin＝－1
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无
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无
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奇偶性
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奇函数
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偶函数
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奇函数
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奇函数
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周期性
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T＝2π
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T＝2π
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T＝π
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T＝π
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有界性
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有界
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有界
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无界
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无界
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单调性
(k∈Z)
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在[2kπ－，
2kπ＋]
上都是增函数，
在[2kπ＋，
2kπ＋]
上都是减函数
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在[(2k－1)π，2kπ]
上都是增函数，
在[2kπ，(2k＋1)π]
上都是减函数
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在(kπ－，
kπ＋)
内都是增函数
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在(kπ，kπ＋π)
内都是减函数
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(ⅰ)公式间的关系
相除相除相除
(ⅱ)辅助角公式：asinα＋bcosα＝√a*a+b*bsin(α＋φ)(辅助角φ所在象限由点(a，b)的象限决定，tanφ＝b/a).
(ⅲ)三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：
a.巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β/2，α＋β/2＝α－β/2－α/2－β等).
b.三角函数名互化(切割化弦).
c.公式变形使用如：tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1∓tanαtanβ).
d.三角函数次数的降升(降幂公式：cos2α＝1＋cos2α/2，sin2α＝1－cos2α/2；升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α).
e.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).
f.常值变换主要指“1”的变换(1＝sin2x＋cos2x＝sec2x－tan2x＝tanxcotx＝tanπ/4＝sinπ/2＝…).
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