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天津市第四十二中学 张鼎言
5. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有( )
A. |FP1|+|FP2|=|FP3|
B. |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D. |FP2|2=|FP1|·|FP3|
分析∵P1、P2、P3在抛物线上，
∴由抛物线定义
|PF1|=x1-(--)
=x1+-
|PF2|=x2+-
|PF3|=x3+-
又2x2=x1+x3
2(x2+-)=(x1+-)+(x3+-)
∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|
选C
6. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( )
(A)3 (B)4
(C)3- (D)4-
解：A(x1，y1)，与B(x2，y2)关于直线x+y=0对称，又A、B在抛物线上，
-
(2)-(1)：y1+x1=-x12+y12=(y1+x1)(y1-x1)
∵点A不在直线x+y=0上
∴x1+y1≠0，y1-x1=1，y1=x1+1代入(1)
-
A(-2，-1)，B(1，2)反之亦然
∴|AB|=3-，选C
7. 双曲线C1：---=1(a>0，b>0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则---等于( )
A. -1 B. 1
C. -- D. -
解：|F1F2|=2c，设|MF1|=x，|MF2|=y
由M在双曲线C1上，x-y=2a
M在抛物线C2上，|MN|= |MF2|=y
又M在C1上，由双曲线第二定义-=-=-
-
---
=---=-1 选A
注：本题把双曲线定义、第二定义与抛物线定义连结在一起，这里M在C1、C2上是突破口，所以几何图形上的公共点是知识点的交叉点，是设计问题的重要根源.
(三) 直线与圆锥曲线相切
复习导引：学习了导数，求圆锥曲线的切线多了一条重要途径，归结起来求切线可用判别式△=0或求导.
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，(1)若-·■=2，求c的值；
(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。
解：(1)-
设A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)
△=k2+4c>0
x1+x2=k，x1·x2=-c，y1·y2=(x1·x2)2 =c2
-·■=x1x2+(x1·x2)2=c2-c=2→c=2，c=-1(舍去)
解(2)线段AB中点P(xp，yp)
xp=-，yp=-
∴xp=-，Q(-，-c)
kAQ=-
=-=2x1
又过A点的切线斜率
k=y'-=2x1
∴AQ是此抛物线在A点的切线。
解(3)过A点的切线：y-y1=2x1(x-x1)
y-x12=2x1(x-x1)
化简 y=2x1x-x12
Q(-，-c)是否满足方程。
y=2·x1·■-x12=x1·x2=-c
∴过A点的切线过Q点
∴逆命题成立
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