众所周知，数学是科学的皇后，有着迷人的魅力，从坐标轴的正直不阿、图像的婀娜风姿、数的巧妙穿插，到方法的巧妙灵活、应用的神奇功效，无不展示她本质的自然美。她不但有智育功能，也有美育功能。

　　在数学解题思维中，如能从简洁、朴素的角度出发，审视问题的结构，分析问题的特点，转化思考的方向，常常可以获得简洁明快的效果。

　　例 甲、乙、丙、丁4人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲的手中，有多少种不同的传球方法。

　　分析 :可以用画树图的方法得到答案，但我们更注重等价转化。用甲-乙表示“甲”把球传给“乙”，则甲-丁-甲-丙-甲，甲-乙-丁-丙-甲都是满足条件的一种传球方式。若用1、2、3、4分别代替甲、乙、丙、丁，把“甲-丁-甲-丙-甲”看成是1、2、3、4排在5个不同的位置上，它等价于用1、2、3、4四个数字组成5位数，要求个位、首位只能排数字1,且任意相邻两位数字不相同，这样的5位数有多少个？

　　解: 千位有3种排法，若百位排1，则十位有3种排法，此时有3×3＝9种排法；若百位不排1，则有2种排法，则十位仍有2种排法，此时有3×2×2＝12种，共有9＋12＝21种排法。

　　由此容易想到把问题推广到一般情况：有m人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过n次传球后，球仍回到甲的手中，有多少种不同的传球方法。

　　它等价于：用1，2，3，4，……，m共m个数字组成n+1位数，要求末位、首位只能排数字1,且任意相邻两位数字不相同，这样的n+1位数有多少个？

　　仍用上面的方法讨论较为复杂，解题的关键是前一位排好后，下一位有几种排法，使我们想到用递推关系来解题。

　　由题意，位置2有m-1种排法，位置3，4，……，n-1各有m-1种排法，位置n也各有m-1种排法(不论是否与位置1相同)，根据乘法原理，有(m-1)n-1种排法，但当位置n排1时不满足条件。若设满足条件的排法有f(n)种，则当位置n排1时，就相当于这m个人传n-1次球，此时有f(n-1)种排法，因而得到关系式

　　f(n)＋f(n-1)＝(m-1)n-1 且f(1)＝0

　　即 f(n)--＝-[f(n-1)--]

　　由于f(1)--＝--，所以f(n)--＝--(-1)n-1

　　从而 f(n)＝-＋-(-1)n，n∈N+。

　　当m＝4，n＝3时，f(3)＝-+-＝21。

　　这是应用型的题型，它虽然没有考查太多的数学知识，却会使我们束手无策，让字母或者对应相关的元素就把它化成我们熟悉的更为简单的问题，但是又不失去本质，令人心旷神怡。

　　七宝中学 高级教师 李广学