1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?
2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使用的射击次数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。 这两题都要用到一些技巧。
我先列出几个重要公式,证明过程中提供变换技巧,然后把这两个题目作为例题。 先定义一个符号,用S(K=1,N)F(K)表示函数F(K)从K=1到K=N求和。(我不会用求和的符号)
公式1: C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N) 证明:方法1、可直接利用组合数的公式证明方法2、(更重要的思路) C(M,N)是从M个物品中任选N个的方法。从M个物品中任意指定一个。则选出N个的方法中,包含这一个的有C(M-1,N-1)种,不包含这一个的有C(M-1,N)种。因此,C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)
公式2: S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N) (M》=N) 证明:C(M,N)是从M个物品中任选N个的方法。从M个物品中任意指定M-N个,并按次序编号为第1到第M-N号,而其余的还有N个。则选出N个的方法可分类为:包含1号的有C(M-1,N-1)种;不包含1号,但包含2号的有C(M-2,N-1)种;。。。。。。不包含1到M-K号,但包含M-K+1号的有C(K-1,N-1)种。。。。。。不包含1到M-N-1号,但包含M-N号的有C(N,N-1)种不包含1到M-N号的有C(N,N)种,而C(N,N)=C(N-1,N-1) 由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法,因此 S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N)
公式3: S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N) (P,Q》=N) 证明:一批产品包含P件正品和Q件次品,则从这批产品中任选N件的选法为C(P+Q,N)。而公式里面的K表示选法中正品数量, C(P,K)*C(Q,N-K)表示N件产品中有K件正品,N-K件次品的选法。K从0到N变化时,就包含了所有不同正品、次品数的组合。因此,S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N)
公式4(一种变换技巧): S(K=0,N)K*C(M,K)=S(K=0,N-1)M*C(M-1,K) 证明: S(K=0,N)K*C(M,K) =S(K=1,N)K*C(M,K) =S(K=1,N)K*M!/K!/(M-K)! =S(K=1,N)M*(M-1)!/(K-1)!/(M-K)! =S(K=1,N)M*C(M-1,K-1) =S(K=0,N-1)M*C(M-1,K)
公式5(公式4的同种) S(K=0,N)K*(K-1)*C(M,K) =S(K=0,N-2)M*(M-1)*C(M-2,K) 证明:(类似上式) S(K=0,N)K*(K-1)*C(M,K) =S(K=2,N)K*(K-1)*M!/K!/(M-K)! =S(K=2,N)M*(M-1)*(M-2)!/(K-2)!/(M-K)! =S(K=2,N)M*(M-1)*C(M-2,K-2) =S(K=0,N-2)M*(M-1)*C(M-2,K)
公式4用于求数学期望,公式4、公式5结合起来可用于求方差。
例1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?
解:(本题利用公式3、4、5)有K件次品的概率为: P(K)=C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) E(X) =S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) =S(K=0,149)1000*C(999,K)*(14000,149-K)/C(15000,150) =1000*C(14999,149)/C(15000,150) =10 D(X) =S(K=0,150)(K-10)*(K-10)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) =S(K=0,150)(K*K-K-19*K+100)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) =S(K=0,150)K*(K-1)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) -19*S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) +100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) =S(K=0,148)1000*999*C(998,K)*C(14000,148-K)/C(15000,150) -19*S(K=0,149)*1000*C(999,K)*C(14000,149-K)/C(15000,150) +100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150) =1000*999*C(14998,148)/C(15000,150) -19*1000*C(14999,149)/C(15000,150)+100 =138600/14999 =9.240616041此题推广形式为:设M件产品中有P件次品,从中拿出N件(N《=P),求得到次品数的期望和方差? E(X)=P*N/M D(X)=P*(P-1)*C(M-2,N-2)/C(M,N) +(1-2*P*N/M)*P*C(M-2,N-2)/C(M,N)+(P*N/M)^2
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