高等数学十分钟:第三个馒头 |
作者:佚名 文章来源:不详 点击数: 更新时间:2007-2-26 12:47:01 |
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我们知道微分中值定理中的四个定理中前三个是:(1)罗尔中值定理;(2)拉格朗日中值定理;(3)柯西中值定理,他们之间是有密切联系的。
(2)是(1)的推广,是(1)的更一般的表达形式。反过来,我们可以说(1)是(2)在f (a) = f (b) 时的特例,甚至还可以说(1)是(2)的一个“推论”。
类似地有:(3)是(2)的推广,是(2)的更一般的表达形式。或者,把它反过来,我们可以说(2)是(3)在g (x) = x 时的特例,甚至还可以说(1)是(2)的一个“推论” 。
注意,我们这里所说的“推论”是加引号的,看起来好像“罗尔中值定理是可以用拉格朗日中值定理来推导的”,而“拉格朗日中值定理也可以用柯西中值定理来推导的”。那么我们为什么还要那么费力地把一个一个中值定理推出来呢,不是只要有一个柯西中值定理就够了吗?
其实这两句话不可以那么讲的。
首先在一般教材上,我们都是利用罗尔中值定理的结论来证明拉格朗日中值定理,怎么又能用拉格朗日中值定理来推导罗尔中值定理呢?这是不符合逻辑的,犯了循环论证的错误。
其次柯西中值定理的证明,确实是没有用到拉格朗日中值定理的结论,所以说“拉格朗日中值定理也可以用柯西中值定理来推导的”在逻辑上是站得住脚的。但是从认识论的角度看,这是违背了人们对自然界(包括对数学理论)的认识规律,人们总是先从初级的、特殊的、个别的开始认识,然后逐步进步到对高级的、一般的、普遍的概念的认识。而且我们还可以注意到,柯西中值定理是由参数方程所表示的函数的拉格朗日中值定理,所以,还是应该先有拉格朗日中值定理的结论,再有柯西中值定理较为妥当。
这就好像一个人吃了三个馒头饱了,他认为第三个馒头是吃饱的关键。后悔没先吃第三个馒头,否则,只要吃一个就饱了,可以省下另外两个。
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来源:新浪BLOG
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